关于与自由性相关的平面曲线的一些注记

设 $C$ 为一条约化复射影平面曲线，并设 $d_1$ 和 $d_2$ 为 $C$ 的前两个最小指数。对于度为 $d$ 的自由曲线 $C$，存在一个将 $d$、$d_1$、$d_2$ 与 $C$ 的总 Tjurina 数联系起来的简单公式。我们的第一个结果讨论了当曲线 $C$ 不再是自由曲线时，该结果如何变化。对于自由直线构型，Poincaré 多项式与 Betti 多项式 $B(t)$ 以及乘积 $P(t)=(1+d_1t)(1+d_2t)$ 相一致。我们的第二个结果表明，对于任意曲线 $C$，差值 $P(t)-B(t)$ 是一个多项式 $a t +bt^2$，其中 $a$ 和 $b$ 为非负整数。此外，$a =0$ 或 $b=0$ 当且仅当 $C$ 是自由直线构型。最后，我们给出了直线构型 $\mathcal A$ 的第二指数 $d_2$ 的新界限，其相应的下界改进了 H. Schenck 关于 $\mathcal A$ 的最大指数与 $\mathcal A$ 中点的最大重数之间关系的结果。