自由曲线、特征概型与曲线束

设 $R=K[x,y,z]$。一条约化平面曲线 $C=V(f)\subset \mathbf P^2$ 是自由的（free），若其相伴的切导子模 $\mathrm{Der}(f)$ 是自由 $R$-模，或等价地，若相应的切于 $C$ 的向量场层 $T_{\mathbf P^2 }(-\log C)$ 在 $\mathbf P^2$ 上分解为线丛的直和。一般而言，自由曲线难以寻找，本文中我们描述一种在 $\mathbf P^2$ 中构造自由曲线的新方法。我们方法的关键工具是特征概型（eigenschemes）与曲线束（pencils of curves），并结合在此背景下对 Saito 准则的一种解释。先前的构造通常仅适用于具有拟齐次奇点的曲线，而我们的方法无此必要。我们通过构造大量自由曲线族来阐释该方法。