几乎所有无横截平面曲线都是平凡无横截的

称一条定义在 $\mathbb{F}_q$ 上的曲线 $C \subset \mathbb{P}^2$ 是无横截的，如果 $\mathbb{F}_q$ 上的每条直线都与 $C$ 在某个闭点处以至少 2 的重数相交。2004 年，Poonen 使用了一种密度概念来处理有限域上的 Bertini 定理。在本文中，我们发展了密度计算方法，并将其应用于估计定义无横截曲线的多项式集合的密度。为此，我们采用了一种基于 $\operatorname{PG}(2, q)$ 的阻塞集的组合方法，并证明了大小固定为 $< 2q$ 的此类集合数量的一个上界。我们由此得出，几乎所有无横截曲线在每条直线的每个 $\mathbb{F}_q$-点上都包含奇点。