高维线性微分系统分段多项式扰动的极限环

平均理论已被广泛用于研究光滑与非光滑微分系统的周期解。在此，我们推广了平均理论，用于研究一类正则扰动的 n 维非自治不连续分段光滑微分系统的周期解。作为一个基本假设，假定未扰动系统具有一个周期解流形 $\mathcal{Z}\subset\mathbb{R}^n$，满足 $\dim(\mathcal{Z})<n$。然后，我们将该结果应用于研究线性微分系统 $x'=Mx$ 的极限环，当它们在具有两个区域的不连续分段多项式微分系统类中受到扰动时，从周期解分岔而出。更确切地说，我们研究下列微分系统 $x'=Mx+ \varepsilon F_1^n(x)+\varepsilon^2F_2^n(x)$ 在 $\mathbb{R}^{d+2}$ 中的周期解，其中 $\varepsilon$ 是小参数，$M$ 是一个 $(d+2)\times(d+2)$ 矩阵，具有一对纯虚共轭特征值、$m$ 个零特征值和 $d-m$ 个非零实特征值。