极小网络上的 Łojasiewicz–Simon 不等式：稳定性与收敛性

我们研究平面网络曲率运动的稳定性性质。我们证明了具有三重点的平面网络长度泛函的 Lojasiewicz–Simon 梯度不等式。特别地，该不等式对满足夹角为 $\tfrac23\pi$ 且在 $H^2$ 范数下接近极小网络（即其边也具有消失曲率的网络）的结点网络成立。后一不等式将一个极小网络 $\Gamma_*$ 的长度与一个三重点网络 $\Gamma$ 的长度之差的凹幂从上方由 $\Gamma$ 各边曲率的 $L^2$ 范数所界定。我们应用此结果证明了极小网络的稳定性：从在 $H^2$ 范数下充分接近某个极小网络出发的曲率运动对所有时间均存在并光滑收敛。我们进一步严格构造了一个具有一致有界曲率且在无限时间内光滑收敛到一个退化网络的曲率运动实例。