具有指标 $k>1$ 的 $K3$ 曲线

令$\mathcal{KC}_g ^k$为形如$(S,C)$的数对组成的模栈，其中$S$为$K3$曲面，$C\subset S$为$\mathrm{Pic}(S)$中整除度为$k$的$g$亏格曲线。本文中我们研究当$k>1$时从$\mathcal{KC}_g ^k$到$\mathcal{M}_g$的遗忘映射$c_g^k:(S,C) \mapsto C$。首先我们用几何方法计算其一般纤维的维数。这仅在$S$为完全交或 Mukai 簇的截面时显得有趣。在前一种情形中，我们发现存在有趣的 Fano 簇在典范嵌入中扩张$C$。在后一种情形中，这与 Mukai 簇精细的模性质相关。接下来我们考察$c_g^k$是否支配$\mathcal{M}_g$中具有适当数目独立截面的$k$-自旋曲线轨迹。我们仅能在$S$为完全交时做到这一点，并在这些情形中获得了一些自旋曲线的分类结果。