\bar{M}_g 与 K3 曲面上的有理曲线

设 $(S,L)$ 为 genus 为 $g$ 的光滑本原极化 K3 曲面，$f:X \rightarrow \mathbb{P}^1$ 为由 $|L|$ 中的线性束定义的纤维化。对于一般的 $f$ 且 $g \geq 7$，我们计算了局部自由层 $\Psi^{*}_f T_{{\overline{M}}_g}$ 的分裂型，其中 $\Psi_f$ 是与 $f$ 关联的模态 morphism。我们表明，该分裂型编码了附属于 Mukai 投影映射 $\mathcal{P}_g \rightarrow \overline{\mathcal{M}}_g$ 的基本几何信息，其中 $\mathcal{P}_g$ 是参数化对 $(S,C)$ 的栈，$(S,L)$ 如上所述，且 $C \in |L|$ 为稳定曲线。此外，我们推导了纤维化 $f$ 诱导模态 morphism $\Psi_f$ 的条件，使得法层 $N_{\Psi_f}$ 是局部自由的。