关于 level $\mathit \ell$ 曲线、K3 曲面与 Fano 三维流的考察

本文研究了 Mukai 映射 $m_g: \mathcal P_g \to \mathcal M_g$ 对于带有 level $\ell$ 结构的亏格 $g$ 曲线模空间 $\mathcal R_{g, \ell}$ 的类似物。令 $\mathcal P^{\perp}_{g, \ell}$ 为四元组 $(S, \mathcal L, \mathcal E, C)$ 的模空间，使得 $(S, \mathcal L)$ 是亏格 $g$ 的极化 K3 曲面，$\mathcal E$ 在 Pic$S$ 中与 $\mathcal L$ 正交并定义 $S$ 的一个标准次数 $\ell$ 的 K3 循环覆盖，$C \in \vert \mathcal L \vert$。我们称 $(S, \mathcal L, \mathcal E)$ 为一个 level $\ell$ K3 曲面。这些在 $\ell \leq 8$ 时存在且它们的族已知。我们定义一个 level $\ell$ Mukai 映射 $r_{g, \ell}: \mathcal P^{\perp}_{g, \ell} \to \mathcal R_{g, \ell}$，由将 $(S, \mathcal L, \mathcal E, C)$ 指派给 $(C, \mathcal E \otimes \mathcal O_C)$ 诱导。我们考察 $m_g$ 与 $r_{g, \ell}$ 之间一个奇特的潜在类比，即 $r_{g, \ell}$ 在 $g = g_{\ell} \pm 1$ 时最大秩的失效，其中 $g_{\ell}$ 是满足 $\dim \mathcal P^{\perp}_{g, \ell} = \dim \mathcal R_{g,\ell}$ 的 $g$ 值。本文对 $\ell = 3$ 证明了这一点。作为一个相关的开放问题，我们讨论了超平面截口为 level $\ell$ K3 曲面及其分类的 Fano 三维流形。