某些特殊的超椭圆曲线族

令 $\L_g^G$ 表示 genus 为 $g$ 且其自同构群包含一个同构于 $G$ 的子群的超椭圆曲线的轨迹。我们研究了 $G \iso \Z_n, \Z_2{\o}\Z_n, \Z_2{\o}A_4$ 或 $SL_2(3)$ 时的空间 $\L_g^G$。我们证明了对于 $G \iso \Z_n, \Z_2{\o}\Z_n$，空间 $\L_g^G$ 是一个有理簇，并找到了其函数域的生成元。对于 $G\iso \Z_2{\o}A_4, SL_2(3)$，我们根据系数找到了一个必要条件，以判断曲线是否属于 $\L_g^G$。此外，我们代数地描述了 $g\leq 12$ 时此类曲线的轨迹，并证明了对于这些轨迹中的所有曲线，其模域即为定义域。