Furstenberg 变换群 $C^*$-代数的 $K$-理论

本文研究一类称为 Furstenberg 变换的环面 $\Bbb{T}^{n}$ 自同胚所对应的交叉积 $C^{*}$-代数的 $K$-理论不变量。利用 Pimsner-Voiculescu 定理，我们证明：给定 $n$，那些对应的 $n \times n$ 整数矩阵为最大度幂幺的交叉积的 $K$-群总具有相同的秩 $a_{n}$。我们利用此处发展的理论，连同两个计算程序（附于附录中），说明文献中关于这些 $K$-群的挠子群的一个论断是错误的。利用单 Lie 代数 $\frak{sl}(2,\Bbb{C})$ 的表示理论，我们表明 $a_{n}$ 具有显著的组合意义。例如，每个 $a_{2n+1}$ 恰为将 0 表示为 $-n$ 到 $n$ 之间整数之和（无重复）的方式数。通过改编 van Lint 的一个论证（其中他回答了 Erdős 的一个问题），给出了序列 $\{a_{n}\}$ 渐近行为的简单显式公式。最后，我们描述了重要的一类 Furstenberg 交叉积的 $K_0$-群的序结构，利用 H. Lin 和 N. C. Phillips 的分类结果得到了它们的完全 Elliott 不变量。