Kähler-Ricci 流保持负反双截曲率

在近期的工作（Pure Appl. Anal. 2 (2020), 397-426）中，第一作者与 J. Zhang 发现了最优传输的正则性理论与 Kähler 流形曲率之间的联系。特别地，我们证明了代价函数 $c(x,y)=\Psi(x-y)$ 的 MTW 张量可理解为定义在管状域上的关联 Kähler 度量的反双截曲率。此处，反双截曲率定义为 $R(\mathcal{X}, \overline{ \mathcal{Y}},\mathcal{X}, \overline{ \mathcal{Y}})$，其中 $\mathcal{X}$ 与 $\mathcal{Y}$ 为极化的 $(1,0)$ 向量，$R$ 为曲率张量。反双截曲率与 MTW 张量之间的对应提供了一种有意义的意义，使反双截曲率可具有符号（即正或负）。本文中，我们研究 Kähler-Ricci 流下反双截曲率的行为。我们发现非正反双截曲率在流下得以保持。在复二维情形，我们也证明了非负正交反双截曲率（即 MTW(0) 条件）在流下得以保持。我们给出了这些结果在复杂几何、最优传输与仿射几何中的若干应用。