可逆哈密顿系统中的不变流形： tentacle 状几何

我们研究了一类时可逆哈密顿向量场的一参数族，这一系统在文献中受到广泛关注。一方面，它在物理或工程学领域的某些应用中发挥重要作用；另一方面，它在四维零化奇点的四阶导数展开框架中尤为关键。该系统在参数取值范围内具有双焦平衡点。其关联的二维不变流形（稳定和不稳定）在相空间中折叠，形成复杂纹理。这种纠缠几何此前被称为“ tentacular geometry”。我们考察包含双焦平衡点的三维水平集，以洞察这些不变流形的折叠行为。方法包括通过可逆映射描述不变流形穿过不变截面时的痕迹。通过该方法，我们更好地理解了tentacular几何随参数变化的演化。我们的技术使我们能够将截面上的tentacular几何与同伴双曲面相切的级联现象相联系。我们提出了将经典在三维可逆向量场中发生的 cocoon 分叉现象推广到 $\mathbb{R}^4$ 的一般理论。基于这些结果，我们推测存在由两个轨道连接双焦点与 saddle 节点周期轨道的 heteroclinic 循环。