基于不变理论的幺半范畴与代数结构的插值

在作者先前的工作中已证明，特征为零的代数闭域 K 上的每个有限维代数结构都给出一个特征标 $K[X]_{aug}\to K$，其中 K[X]_{aug 是一个交换 Hopf 代数，编码了结构的标量不变量。这使我们能够将某些特征标 $K[X]_{aug}\to K$ 视为具有闭轨道的代数结构。在本文中我们研究一般对称幺半范畴中的结构，而不仅在 $Vec_K$ 中。我们证明每个特征标 $\chi : K[X]_{aug}\to K$ 都来自这样的结构，通过构造一个范畴 $C_{\chi}$，它类似于 TQFT 的泛构造。然后我们给出给定特征标来自具有有限维 Hom 空间的阿贝尔范畴中结构的充要条件。我们称这样的特征标为良特征标。我们证明若 $\chi$ 是良特征标，则 $C_{\chi}$ 是阿贝尔且半单的，且良特征标的集合构成一个 K-代数。这给出了一种插值代数结构以及对称幺半范畴的方法，推广了 Deligne 的范畴 $Rep(S_t)$、$Rep(GL_t(K))$、$Rep(O_t)$，以及 Knop 引入的某些对称幺半范畴。我们还解释了如何用本文提出的方法恢复 Khovanov、Ostrik 和 Kononov 最近的二维 TQFT 构造。我们给出新的例子，即范畴 $Rep(Aut_{O}(M))$ 的插值，其中 $O$ 是具有有限剩余域的离散赋值环，M 是其上的有限模。我们还推广了 Knop 引入的与 $S_t$ 的圈积构造。