从对称幺半范畴的插值构造新的开闭 TQFT

对于任意对称幺半范畴 $\mathcal{D}$，Lauda 和 Pfeiffer 证明了取值于 $\mathcal{D}$ 的开闭二维 TQFT 与 $\mathcal{D}$ 中所谓的知识型 Frobenius 代数（KFAs）之间的等价性。$\mathcal{D}=\mathbf{Vec}_{\mathbb{K}}$ 中的每个 KFA 都提供了一个由空集的连通自配边类的微分同胚类集合 $\mathbb{N}^2$ 索引的标量序列，该序列由相关联的 TQFT 对每个此类配边类的赋值给出。从任意序列 $\chi=(\chi_{g,w})_{g,w\in\mathbb{N}}$ 出发，我们构造了一个对称幺半范畴 $\mathcal{C}_{\chi}$——其单位对象 $\textbf{1}$ 满足 $\text{End}_{\mathcal{C}_{\chi}}(\textbf{1})\cong \mathbb{K}$——该范畴由提供该序列的 KFA 对象生成。随后，我们确定了哪些序列 $\chi$ 能产生具有有限维 hom 空间的半单阿贝尔范畴 $\mathcal{C}_{\chi}$。这些范畴构成了一族插值范畴，用于插值 $\mathbf{Vec}_{\mathbb{K}}$ 中某些 KFAs 的自同构群的表示范畴。