环面单调概型的 Hall 李代数

我们联系到一个射影 $n$ 维环面簇 $X_{\Delta}$ 一对余交换（但一般非交换）Hopf 代数 $H^{\alpha}_X, H^{T}_X$。它们作为某些范畴 $\Coh^{\alpha}(X), \Coh^T(X)$ 的 Hall 代数出现，这些范畴由 $X_{\Delta}$ 上的凝聚层构成，而 $X_{\Delta}$ 被视为单调概型——即通过粘合交换幺半群而非环的谱所得的概型。当 $X_{\Delta}$ 光滑时，范畴 $\Coh^T(X)$ 有一个显式的组合描述：其层限制到对应于极大锥 $\sigma \in \Delta$ 的每个 $\mathbb{A}^n$ 上由 $n$ 维广义斜形状决定。非加法范畴 $\Coh^{\alpha}(X), \Coh^T(X)$ 通过 Dyckerhoff-Kapranov 发展的原精确/原阿贝尔范畴形式化处理。Hall 代数 $H^{\alpha}_X, H^{T}_X$ 是分次且连通的，因此包络代数 $H^{\alpha}_X \simeq U(\n^{\alpha}_X)$、$H^{T}_X \simeq U(\n^{T}_X)$，其中李代数 $\n^{\alpha}_X, \n^{T}_X$ 由各自范畴中不可分解凝聚层张成。我们显式算出了若干例子，并在某些情形将 $\n^T_X$ 与已知李代数相联系。特别地，当 $X = \mathbb{P}^1$ 时，$\n^T_X$ 同构于 $\mathfrak{gl}_2 [t,t^{-1}]$ 中的一个非标准 Borel 子代数。当 $X$ 是 $\mathbb{A}^2$ 中原点的第二无穷小邻域时，$\n^T_X$ 同构于 $\mathfrak{gl}_2[t]$ 的一个子代数。我们也考虑 $X=\mathbb{P}^2$ 的情形，通过描述 $\Coh^T(X)$ 中所有不可分解层给出了 $\n^T_X$ 的一组基。