Mackey 李代数的表示范畴作为泛幺半范畴

设 $\mathbb{K}$ 为特征 $0$ 的代数闭域。我们研究一个幺半范畴 $\mathbb{T}_\alpha$，它在所有由两个对象 $A$ 和 $B$ 生成的对称 $\mathbb{K}$-线性幺半范畴中是泛的，其中 $A$ 具有一个可能超限的滤过。我们将 $\mathbb{T}_\alpha$ 构造为李代数 $\mathfrak{gl}^M(V_*,V)$ 的表示范畴，该李代数由向量空间 $V_*$ 和 $V$（维数为 $\alpha$）的一个固定可对角化配对 $V_*\otimes V\to \mathbb{K}$ 的自同态组成。这里 $\alpha$ 是任意基数。我们显式描述了 $\mathbb{T}_\alpha$ 的单对象和内射对象，并证明了范畴 $\mathbb{T}_\alpha$ 是 Koszul 的。我们特别关注 $A$ 上的滤过为有限的情形。此时 $\alpha=\aleph_t$，其中 $t\in\mathbb{Z}_{\geq 0}$。