关于 Mackey 李代数表示的三个结果

I. Penkov 和 V. Serganova 最近针对任意非退化配对 $W\otimes V\to\mathbb C$ 的向量空间，引入了由 $V$ 的那些对偶映射保持 $W\subseteq V^*$ 的自同态构成的李代数 $\mathfrak{gl}^M=\mathfrak{gl}^M(V,W)$。在他们的工作中， singled out 并研究了由张量代数 $T(W\otimes V)$ 的有限长度子商构成的 $\mathfrak{gl}^M$-模范畴 $\mathbb{T}_{\mathfrak{gl}^M}$。本文解决了这两位作者提出的关于范畴 $\mathbb{T}_{\mathfrak{gl}^M}$ 的三个问题。记 $\mathbb{T}_{V\otimes W}$ 为具有与 $\mathbb{T}_{\mathfrak{gl}^M}$ 相同对象但视为 $V\otimes W$-模的范畴，我们首先证明：当 $W$ 和 $V$ 通过对偶基配对时，将模映射到其关于 $V\otimes W$ 的足够好的 Cartan 子代数的最大权子模的函子 $\mathbb{T}_{\mathfrak{gl}^M}\to \mathbb{T}_{V\otimes W}$ 是一个张量等价。其次，我们证明当 $W$ 和 $V$ 为可数维时，$\mathbb{T}_{\mathrm{End}(V)}$ 的对象作为 $\mathfrak{gl}^M$-模具有有限长度。最后，在相同假设下，我们计算了 $\mathbb{T}_{\mathrm{End}(V)}$ 中单对象作为 $\mathfrak{gl}^M$-模的 socle filtration。