可解李代数的全上同调与线性形变

给定一个有限维李代数 $\mathfrak{g}$，设 $\Gamma_\circ(\mathfrak{g})$ 为具有非零上同调的不可约 $\mathfrak{g}$-模的集合。我们证明，$\mathfrak{g}$-模 $V$ 属于 $\Gamma_\circ(\mathfrak{g})$ 仅当 $V$ 包含在 $\mathfrak{g}$ 的可解根 $\mathfrak{s}$ 的外代数中，特别地表明 $\Gamma_\circ(\mathfrak{g})$ 是一个有限集，并推导出 $H^*(\mathfrak{g},V)$ 是一个 $L$-模，其中 $L$ 是 $\operatorname{Aut}(\mathfrak{g})$ 连通分支中包含 Levi 因子的一个固定子群。我们描述了一些基本例子中的 $\Gamma_\circ$，包括 Borel 子代数，并确定了由标准丝状李代数 $\mathfrak{f}_n$ 扩张二维阿贝尔李代数得到的扩张 $\mathfrak{s}_n$ 的 $\Gamma_\circ(\mathfrak{s}_n)$。为此，我们描述了 $\mathfrak{f}_n$ 的上同调。我们将李代数 $\mathfrak{g}$ 的全上同调定义为 $TH^*(\mathfrak{g})=\bigoplus_{V\in \Gamma_\circ(\mathfrak{g})} H^*(\mathfrak{g},V)$，并进一步发展线性形变理论，以证明可解李代数的全上同调即为其幂零影子的上同调。实际上，我们证明了 $\mathfrak{s}$ 位于李代数簇的一个维数至少为 $\dim (\mathfrak{s}/\mathfrak{n})^2$ 的线性子空间中（其中 $\mathfrak{n}$ 是 $\mathfrak{s}$ 的幂零根），该子空间包含 $\mathfrak{s}$ 的幂零影子，且其所有点具有相同的全上同调。