李代数$\mathfrak{sl}(2)\ltimes V(m)$的单串表示的张量积与交织算子

令$\mathfrak{g}_m=\mathfrak{sl}(2)\ltimes V(m)$，$m\ge 1$，其中$V(m)$是维数为$m+1$的不可约$\mathfrak{sl}(2)$-模，视作阿贝尔李代数。已知$\mathfrak{g}_m$-模的单串同构类包含一个族，称为$Z$型，含有任意合成长度的模，以及一些合成长度$\le 4$的例外模。设$V$和$W$是两个$Z$型的单串$\mathfrak{g}_m$-模。本文通过明确给出最高权向量，得到了$\text{soc}(V\otimes W)$的$\mathfrak{sl}(2)$-模分解。结果表明$\text{soc}(V\otimes W)$是无重数的。粗略地说，在一半情况下$\text{soc}(V\otimes W)=\text{soc}(V)\otimes \text{soc}(W)$，且在这些情况下我们通过证明对所有$t\ge0$有$\text{soc}^{t+1}(V\otimes W)=\sum_{i=0}^{t} \text{soc}^{i+1}(V)\otimes \text{soc}^{t+1-i}(W)$得到了$V\otimes W$的完全根基序列。作为这些结果的应用，我们得到了对于哪些$V$和$W$，$\mathfrak{g}_m$-模同态空间$\text{Hom}_{\mathfrak{g}_m}(V,W)$非零，此时其为1维。最后我们证明，对于$m\ne 2$，若$U$是两个$Z$型单串$\mathfrak{g}_m$-模的张量积，则因子由$U$确定。我们提供了一种从$U$识别因子的步骤。