线性系统的李代数及其自同构

本论文旨在研究与线性系统相关联的李代数的自同构群。线性系统是一对向量空间 $(U,W)$，具有非退化配对 $\langle\cdot,\cdot\rangle\colon U\otimes W\to \mathbb{C}$，我们为其附加三个李代数 $\mathfrak{sl}_{U,W}\subset \mathfrak{gl}_{U,W}\subset\mathfrak{gl}^M_{U,W}$。如果 $U$ 和 $W$ 均为可数维，则在同构意义下存在唯一的线性系统 $(V,V_*)$。此时 $\mathfrak{sl}_{V,V_*}$ 和 $\mathfrak{gl}_{V,V_*}$ 是众所周知的李代数 $\mathfrak{sl}_\infty$ 和 $\mathfrak{gl}_\infty$，而李代数 $\mathfrak{gl}^M_{V,V_*}$ 是 \cite{PSer} 中引入的 Mackey 李代数。我们回顾了关于张量模的单范畴 $\mathbb{T}_{\mathfrak{sl}_{U,W}}$ 和 $\mathbb{T}_{\mathfrak{gl}^M_{U,W}}$ 的结果，两者作为单范畴均等价于 \cite{DPS} 早期引入的范畴 $\mathbb{T}_{\mathfrak{sl}_\infty}$。利用范畴 $\mathbb{T}_{\mathfrak{sl}_\infty}$ 和 $\mathbb{T}_{\mathfrak{gl}^M_\infty}$ 之间的关系，我们计算了 $\mathfrak{gl}^M_\infty$ 的自同构群。