分数阶Hartree方程与Pohozaev恒等式的无穷多自由质量或给定质量解

本文研究如下非线性分数阶Choquard-Pekar方程 \begin{equation}\label{eq_abstract} (-\Delta)^s u + \mu u =(I_\alpha*F(u)) F'(u) \quad \hbox{in}\ \mathbb{R}^N, \tag{$*$} \end{equation} 其中 $\mu>0$，$s \in (0,1)$，$N \geq 2$，$\alpha \in (0,N)$，$I_\alpha \sim \frac{1}{|x|^{N-\alpha}}$ 为Riesz位势，$F$ 为一般次临界非线性项。目标是在假设 $F$ 为奇或偶的条件下，证明多个（径向对称）解 $u \in H^s(\mathbb{R}^N)$ 的存在性：我们考虑 $\mu>0$ 固定与 $\int_{\mathbb{R}^N} u^2 =m>0$ 给定两种情况。此处我们也简化了针对 $s=1$ 在[Calc. Var. PDEs, 2022]中发展的若干论证。证明中的一个关键点在于寻找合适的多维奇路径，这在局部情形由Berestycki与Lions[ARMA, 1983]完成；对于\eqref{eq_abstract}，非局部性确实起到特殊作用。特别地，这些路径的某些性质在无约束问题山路值（随 $\mu$ 变化）的渐近研究中是必需的，进而被用于刻画有约束问题的几何结构，并探测任意 $m>0$ 的无穷多归一化解。所求解还满足一个Pohozaev恒等式：本文进一步研究了在 $C^1$ 正则性下该恒等式对双非局部方程解的适用性。