针对偏微分方程有限维控制的改进残差模态分离：以欧拉-伯努利梁为例

我们考虑一根具有黏性与 Kelvin–Voigt 阻尼的简支欧拉-伯努利梁。我们的目标是通过一个压电作动器来削弱未知分布扰动的影响。我们展示了如何基于有限个主导模态设计合适的 $H_\infty$ 状态反馈控制器。若忽略剩余（无穷多）模态，所计算的 $L^2$ 增益是错误的。这是因为当反馈设计中未考虑控制对截断模态的作用时，会发生溢出现象。我们提出对 $H_\infty$ 代价函数的一个简单修正以阻止溢出。关键思想是将控制视为截断模态中的扰动，并利用有界实引理求出相应的 $L^2$ 增益。这些 $L^2$ 增益被加入主导模态的 $H_\infty$ 代价函数的控制权重中，从而阻止溢出。采用真实参数的铝梁数值仿真证明了所提方法的有效性。该方案适用于其他类型的偏微分方程，如热方程、波动方程、Kuramoto-Sivashinsky 方程及其半线性版本。虽然本文聚焦于 $H_\infty$ 控制，同一方法也可用于保成本控制、区域稳定性分析、输入到状态稳定性以及含时变延迟的系统，包括采样数据系统。