非线性应变极限弹性固体中静态反平面剪切裂纹的 $hp$ 自适应有限元模拟

本文开发了一种 $hp$ 自适应连续 Galerkin 有限元方法，用于分析嵌入在非线性应变极限弹性体中的静态反平面剪切裂纹。该几何线性材料由一个代数非线性的应力-应变本构关系描述。在本研究中，所使用的本构关系是\textit{一致有界的}、\textit{单调的}、\textit{强制的}且\textit{Lipschitz 连续的}，以确保数学模型的适定性。由线动量平衡与非线性本构关系耦合导出的控制方程被表述为二阶拟线性椭圆偏微分方程。对于具有边缘裂纹的物体，该控制方程在裂纹面上增加了经典无牵引边界条件。提出了一种 $hp$ 自适应有限元格式用于所得边界值问题的数值近似。该自适应策略由双分量误差估计方案驱动：网格细化（$h$ 自适应）由 \textit{Kelly 型}基于残差的事后误差指示器引导，而局部多项式次数（$p$ 自适应）则根据局部解的正则性估计器进行调整。通过数值实验证明了所提方法的性能、精度和收敛特性。针对各种建模参数检查了正则化裂纹尖端场的结构。此外，所提出的框架为扩展到更复杂和计算要求更高的问题（包括脆性材料中的准静态和动态裂纹扩展）奠定了稳健的基础。