具有四面体和八面体对称性的 Hopf 分岔

在研究 $\Gamma$-等变动力系统的周期解时，$H~\mathrm{mod}~K$ 定理基于群论方面给出了所有可能的周期解。相比之下，等变 Hopf 定理保证了对于 $\Gamma\times\mathbb{S}^1$ 的每个 $\mathbf{C}$-轴子群，都存在从原点分岔出的小振幅周期解族。在本文中，我们比较了在四面体全对称群和立方体旋转对称群下等变的通用微分方程的周期解分岔。这两个群是对称群 $S_4$ 不等价表示的像。尽管这两个群产生相同的矩阵群 $\Gamma\times\mathbb{S}^1$，但分岔解可能的空间对称性是不同的。当 $\Gamma$ 为立方体全对称群时，同样的矩阵群再次作为扩张 $\Gamma\times\mathbb{S}^1$ 出现。对于这三个群，在刻画 Hopf 分岔时，我们确定了哪些由 $H~\mathrm{mod}~K$ 定理保证存在的周期解类型可以通过从原点发生的 Hopf 分岔获得。