薄多孔层中斯托克斯流与输运的均质化极限

本文致力于处理流动与输运问题在薄 ε 周期性多孔层中的严格均质化与维数约化。层的厚度为 $\varepsilon^{\alpha}$，其中 $\alpha \in (0,1)$，因此层的厚度远大于其孔隙度。目标是推导当 $\varepsilon \to 0$ 时的有效模型，即当层厚度趋于零时的模型。对于流动问题，我们考虑以压力边界条件为顶部/底部的不可压缩斯托克斯方程；而输运问题由反应扩散-输运方程给出，其中输运由斯托克斯模型中流体速度决定，扩散系数的尺度不同，分别刻画了水平方向上的低扩散与快扩散。在极限情况下，斯托克斯流得到达克-类型定律，其中达克速度仅取决于达克压力在垂直方向上的导数。对于输运问题，有效方程仍为扩散-输运型，包含均质化系数，输运由达克速度给出，仅在垂直方向上发生。在慢扩散情况下，有效扩散仅在垂直方向上发生；而在水平快速扩散情况下，得到在所有空间方向上的有效扩散。为完成极限推导，我们采用适用于微观几何的两尺度收敛方法，这一方法基于均匀的先验估计。推导宏观模型的关键部分在于对流体压力的控制，我们为薄多孔域构造了博格斯基算子，同时也需要对输运方程的微观解进行强两尺度收敛，以便在输运项中取极限。