非自治 Minkowski 曲率方程的同宿与异宿解

我们研究由 Minkowski 曲率算子驱动的非自治含参二阶微分方程 \begin{equation*} \delta \left( \dfrac{v'}{\sqrt{1-(v')^{2}}} \right)' + q(t) f(v)= 0, \quad t\in\mathbb{R}, \end{equation*} 其中 $\delta>0$，$q\in L^{\infty}(\mathbb{R})$，$f\colon\mathopen{[}0,1\mathclose{]}\to\mathbb{R}$ 为连续函数，且对某个 $\alpha \in \mathopen{]}0,1\mathclose{[}$ 有 $f(0)=f(1)=0=f(\alpha)$，$f(s)<0$ 对所有 $s\in\mathopen{]}0,\alpha\mathclose{[}$ 成立，且 $f(s)>0$ 对所有 $s\in\mathopen{]}\alpha,1\mathclose{[}$ 成立。基于细致的相平面分析，在对 $q$ 的适当假设下，我们证明了严格递增异宿解以及具有唯一单调性变化的同宿解的存在性。随后，我们分析了此类解在 $\delta \to 0^{+}$ 与 $\delta\to+\infty$ 时的渐近行为。若干数值例子说明了所述结果。