关于 Janusz Matkowski 和 Jacek Wesołowski 的一个问题

我们研究函数方程 \begin{equation*} \varphi(x)=\sum_{n=0}^{N}\varphi(f_n(x))-\sum_{n=1}^{N}\varphi(f_n(0)), \end{equation*} 的递增且连续的解 $\varphi\colon[0,1]\to[0,1]$ 的存在性问题，其中 $\varphi(0)=0$ 且 $\varphi(1)=1$，$N\in\mathbb N$ 且 $f_0,\ldots,f_N\colon[0,1]\to[0,1]$ 是严格递增的压缩映射，满足条件 $0=f_0(0)<f_0(1)=f_1(0)<\cdots<f_{N-1}(1)=f_N(0)<f_N(1)=1$。特别地，我们对 Janusz Matkowski 在文章《关于与不变测度相关的函数方程的 BV 解的注记》中就该方程的一个非常特殊情形所提出的问题给出了解答。