独立 Banach 空间值随机变量和的概率不等式

设 $(\mathbf{B}, \|\cdot\|)$ 为实可分 Banach 空间。设 $\varphi(\cdot)$ 和 $\psi(\cdot)$ 为定义在 $[0, \infty)$ 上的两个连续且递增的函数，满足 $\varphi(0) = \psi(0) = 0$，$\lim_{t \rightarrow \infty} \varphi(t) = \infty$，且 $\frac{\psi(\cdot)}{\varphi(\cdot)}$ 在 $[0, \infty)$ 上是非递减函数。设 $\{V_{n};~n \geq 1 \}$ 为独立且对称的 $\mathbf{B}$ 值随机变量序列。在本文中，我们通过证明对于每个 $n \geq 1$ 及所有 $t \geq 0$，$$\mathbb{P}\left(\left\|\sum_{i=1}^{n} V_{i} \right\| > t b_{n} \right) \leq 4 \mathbb{P} \left(\left\|\sum_{i=1}^{n} \varphi\left(\psi^{-1}(\|V_{i}\|)\right) \frac{V_{i}}{\|V_{i}\|} \right\| > t a_{n} \right) + \sum_{i=1}^{n}\mathbb{P}\left(\|V_{i}\| > b_{n} \right),$$ 建立了独立 $\mathbf{B}$ 值随机变量和的概率不等式，其中 $a_{n} = \varphi(n)$ 且 $b_{n} = \psi(n)$，$n \geq 1$。作为该不等式的一个应用，我们建立了所谓的独立同分布 $\mathbf{B}$ 值随机变量弱大数定律的比较定理。