产生新解类的 Matkowski 与 Weso{\l}owski 问题再探

以下 MW 问题分别由 Janusz Matkowski 和 Jacek Weso{\l}owski 于 1985 年和 2009 年以不同形式独立提出:是否存在严格递增且连续的函数 $\varphi\colon [0,1]\to [0,1]$,且在 $[0,1]$ 上不等于恒等函数,满足 $\varphi(0)=0$, $\varphi(1)=1$ 以及对任意 $x\in[0,1]$ 有 $\varphi(x)=\varphi(\frac{x}{2})+\varphi(\frac{x+1}{2})-\varphi(\frac{1}{2})$?目前已知,每个 de Rham 函数 $R_p$ (其中 $p\in(0,1)$) 均为 MW 问题的解,且对于任意集中于 $(0,1)$ 上的 Borel 概率测度 $\mu$,公式 $\phi_\mu(x)=\int_{(0,1)}R_p(x) d\mu(p)$ 也定义了该问题的一个解 $\phi_\mu\colon[0,1]\to[0,1]$。在本文中,我们给出了由 Cantor 型函数构成的 MW 问题的新解族。我们还证明了存在严格递增的 MW 问题的解,且这些解不具上述任何 Borel 概率测度 $\mu$ 的积分形式。