另一种函数方程的可测解

本文我们研究函数方程 $$\varphi \left( \frac{x+y}{2} \right) \left( \psi_1(x) - \psi_2(y) \right) = 0 \hspace{20mm} \left( \mbox{ for all } x \in I_1 \mbox{ and } y \in I_2 \right)$$ 其中 $I_1 \,, I_2$ 为 $\mathbb{R}$ 的开区间，$J = \frac{1}{2} \left( I_1 + I_2 \right)$，且 $\psi_1 : I_1 \rightarrow \mathbb{R}$，$\psi_2 : I_2 \rightarrow \mathbb{R}$，$\varphi : J \rightarrow \mathbb{R}$ 为未知函数。我们在假设 $\varphi$ 可测的条件下描述可能解的结构。当 $\varphi$ 为导数时，我们给出解的完整特征。此外，我们给出一个由不规则达布克函数组成的解的例子。这为 59 届国际函数方程研讨会期间提出的开放问题提供了解答。