半线性椭圆方程非负解的估计

设 $L$ 为 $\mathbb{R}^{d}$ 中区域 $D$ 上的二阶一致椭圆微分算子，$\psi:\mathbb{R}_+\to \mathbb{R}_+$ 为非减连续函数，$\xi,g:D\to\mathbb{R}_+$ 为局部有界 Borel 可测函数。在适当条件下，我们确定一个取值于 ]0,1] 的函数 $\varphi$，使得对 $D$ 中不等式 $-Lu+\xi\psi(u) \geq g$ 的任意非负解以及任意 $x\in D$，有 $$u(x)\geq p(x)\,\varphi\left(\frac{G_D(\xi\psi(p))(x)}{p(x)}\right)$$ 其中 $p=G_Dg$ 为 $g$ 的 Green 函数。函数 $\varphi$ 完全由 $\psi$ 确定，且不依赖于 $L,D,\xi$ 或 $g$。