与椭圆且抵消型线性微分算子相关方程的局部连续可解性

考虑 $A(x,D):C^{\infty}(\Omega,E) \rightarrow C^\infty(\Omega,F)$ 为 $\Omega \subset \mathbb{R}^{N}$ 中具有光滑复系数的 $\nu$ 阶椭圆且抵消型线性微分算子，从有限维复向量空间 $E$ 到有限维复向量空间 $F$，且 $A^{*}(x,D)$ 为其伴随算子。本文刻画了偏微分方程 $A^{*}(x,D)v=f$（在分布意义下）对给定分布 $f$ 的（局部）连续可解性；更精确地，我们证明任意 $x_0\in\Omega$ 都包含于邻域 $U\subset \Omega$ 中，其中其连续可解性由关于 $f$ 的如下条件刻画：对每个 $\epsilon>0$ 及任意紧集 $K \subset \subset U$，存在 $\theta=\theta(K,\epsilon)>0$ 使得对一切支撑在 $K$ 中的光滑函数 $\varphi$ 成立：\begin{equation}\nonumber \left| f(\varphi) \right| \leq \theta\|\varphi\|_{W^{\nu-1,1}} + \epsilon\|A(x,D) \varphi\|_{L^{1}}, \end{equation} 其中 $W^{\nu-1,1}$ 表示所有导数阶为 $\nu-1$ 属于 $L^{1}(U)$ 的 $L^1$ 函数构成的齐次 Sobolev 空间。该刻画蕴含并推广了先前针对与向量场椭圆复形相关算子所得的结果（见 \cite{MP}）；我们也给出了对一大类微分算子的局部类比，对应于 [4] 和 [9] 中经典散度算子的全局结果。