连接贝塞尔函数 $J_1$ 与 Lambert $W$ 函数的一族整函数

受确定使 $f_\alpha(x)=e^\alpha - (1+1/x)^{\alpha x},\ x>0$ 为完全单调函数的 $\alpha>0$ 值问题的启发，我们结合傅里叶分析与复分析，找到一族 $\varphi_\alpha$（$\alpha>0$）整函数，使得 $f_\alpha(x) =\int_0^\infty e^{-sx}\varphi_\alpha(s)\,ds, \ x>0.$ 我们证明每个函数 $\varphi_\alpha$ 有幂级数展开，其系数由 Bell 多项式确定。该展开导出 $\varphi_\alpha$ 函数的若干性质，这些函数被发现与著名的贝塞尔函数 $J_1$ 和 Lambert $W$ 函数相关。另一方面，通过对级数展开作数值计算，我们能够展示 $\varphi_\alpha$ 随 $\alpha$ 从 $0$ 增至 $\infty$ 的行为，并得到使 $\varphi_\alpha(s)\geq0,\, s>0$（等价地，使 $f_\alpha$ 完全单调）的最大 $\alpha>0$ 的非常精确近似。