$E$-函数及定义于 $\overline{\mathbb{Q}}$ 上的指数多项式的零点

Bessel 函数 $J_\alpha$ 的零点在物理学中发挥重要作用。它们是研究 $\overline{\mathbb{Q}}$ 上定义的指数多项式零点，以及更一般的 $E$-函数的动机。在本文中，我们部分描述具有相同重数的 $E$-函数，并证明了 Jossen 对 $E$-函数全称商的一个特例猜想，这与 Ritt 定理和 Shapiro 对指数多项式的猜想有关。我们还从 Schanuel 猜想中推导出许多关于 $\overline{\mathbb{Q}}$ 上指数多项式零点的结果，包括 $\pi$、代数数的对数，以及当 $2\alpha$ 为奇整数时 $J_\alpha$ 的零点。对于后者，我们定义（如果 $\alpha\neq\pm1/2$）一种对代数数最小多项式和 Galois 共轭的类比。最后，我们研究针对 $E$-函数的因式分解和零点的 conjectural 推广。