完全 Bernstein 函数与具有嵌套值域的从属过程——关于 P. Marchal 论文的一点注记

设 $\alpha:[0,1]\to [0,1]$ 为可测函数。P. Marchal \cite{Mar15} 证明了函数 $$\phi^{(\alpha)}(\lambda):=\exp\left[ \int_0^1\frac{\lambda-1}{1+(\lambda-1)x}\,\alpha(x)\,d x \right],\quad \lambda>0$$ 是特殊 Bernstein 函数。Marchal 利用此结果在单一概率空间上构造了一族再生集 $\mathcal R^{(\alpha)}$，使得 $\mathcal{R}^{(\alpha)} \stackrel{\text{law}}{=} \overline{\{S^{(\alpha)}_t:t\geq 0\}}$（$S^{(\alpha)}$ 是以 $\phi^{(\alpha)}$ 为 Laplace 指数的从属过程），且当 $\alpha\leq\beta$ 时 $\mathcal R^{(\alpha)}\subset \mathcal R^{(\beta)}$。我们给出了两个简单的证明以表明 $\phi^{(\alpha)}$ 是完全 Bernstein 函数，并将 Marchal 的构造推广至所有完全 Bernstein 函数。