高秩 K 理论点状 Donaldson-Thomas 理论

我们利用 Quot 概形 $\mathrm{Quot}_{\mathbb A^3}(\mathscr O^{\oplus r},n)$ 上的临界轨迹结构，特别是相关的对称阻碍理论，来定义 Calabi-Yau $3$-fold $\mathbb A^3$ 的秩 $r$ K 理论 Donaldson-Thomas 不变量。我们将相关的配分函数计算为 plethystic 指数，证明了 Awata-Kanno 与 Benini-Bonelli-Poggi-Tanzini 在弦论中提出的猜想。证明中的关键一步是不变量不依赖于标架环面 $(\mathbb C^\ast)^r$ 的等变参数。从 K 理论不变量约化到上同调不变量，我们计算了相应的 DT 不变量，证明了 Szabo 的猜想。进一步约化到计数 DT 不变量，我们解决了对 $(X,F)$ 的高秩 DT 理论，其中 $F$ 是射影环面 $3$-fold $X$ 上的等变例外向量丛。最后，我们对 Benini-Bonelli-Poggi-Tanzini 在物理中研究的手性椭圆亏格给出数学定义。这使我们能定义 $\mathbb A^3$ 的任意秩椭圆 DT 不变量，并研究其初步性质。