具变扩散的对流-扩散方程Cauchy问题解的高阶渐近廓形

我们考虑对流-扩散方程解的渐近行为：$$\partial_t u - \mathrm{div}\left(a(x)\nabla u\right) = d\cdot\nabla \left(\left\lvert u\right\rvert ^{q-1}u\right),\ \ x\in\mathbb{R}^n, \ t>0$$ 具有可积初始数据 $u_{0}(x)$，其中 $n\ge1$，$q>1+\frac{1}{n}$ 且 $d\in \mathbb{R}^{n}$。此外，我们取 $a(x)=1+b(x)>0$，其中 $b(x)$ 是光滑的且在空间无穷远处快速衰减。已知该问题解的渐近廓形可由热核给出。此外，解的一些高阶渐近展开已被研究。特别地，第二渐近廓形的结构强烈依赖于非线性指数 $q$。更准确地说，在以下三种情况下这些廓形具有不同的衰减阶：$1+\frac{1}{n}<q<1+\frac{2}{n}$；$q=1+\frac{2}{n}$；$q>1+\frac{2}{n}$。在本文中，我们关注临界情况 $q=1+\frac{2}{n}$。通过详细分析相应的积分方程，我们成功给出了解的更高阶渐近展开，推广了先前的工作。