含一或两个耗散低阶项的高阶双曲方程的渐近性

本文考虑任意阶 $m\geq3$ 的双曲方程 $Q(\partial_t,\partial_x)u=0$ 的Cauchy问题，其中 $t\geq0$ 且 $x\in\mathbb{R}^n$，$Q=P_m+P_{m-1}+P_{m-2}$ 是 $m-j$ 阶齐次双曲多项式 $P_{m-j}$ 之和。我们假设对于任意 $\xi\neq0$，保证多项式 $Q(\lambda,i\xi)$ 严格稳定的充分必要条件。在此假设下，我们在多项式 $P_{m-j}(\lambda,\xi)$ 交错的不同情形下推导出该问题能量的多项式衰减率，并在假设初始数据满足矩条件的情况下，描述了当 $t\to\infty$ 时解的渐近轮廓。为此，我们研究了全象征 $Q(\lambda,i\xi)$ 的 $m$ 个根在 $\xi\to0$ 和 $|\xi|\to\infty$ 时的渐近行为。结果可应用的模型示例包括声波理论和电磁弹性波理论。此外，作为应用，我们证明了具有 $|D^\alpha u|^p$（其中 $|\alpha|\leq m-2$）型超临界幂非线性时该问题整体小初值解的存在性。