退化噪声下 $G$-SDEs 的 Harnack 不等式与梯度估计

本文通过测度变换耦合的方法，导出了退化噪声下 $G$-SDEs 的 Harnack 不等式。此外，对相关的非线性半群 $\bar{P}_t$，也得到了有界连续函数 $f$ 的梯度估计 $$|\nabla \bar{P}_t f|\leq c(p,t)(\bar{P}_t |f|^p)^{\frac{1}{p}}, \ \ p>1, t>0$$。作为 Harnack 不等式的应用，我们在某些可积条件下证明了退化 $G$-SDEs 的弱存在性。最后给出一个例子。上述所有结果推广了线性期望框架下已有结果。