随机过程密度的 Harnack 不等式与界

我们考虑形式为 $$\sum_{k=1}^{m}X_{k}^{2}+X_{0}-\partial_{t},$$ 的可能退化的抛物型算子，它们自然地与一族合适的随机微分方程相关联，并满足 H"ormander 条件。请注意，在此假设下，形式为 $\L$ 的算子具有光滑的基本解，该解与相应随机过程的密度一致。我们描述了一种基于 Harnack 不等式和 Harnack 链构造的方法来证明基本解的下界。我们还简要讨论了用于证明类似上界的 PDE 和 SDE 方法。最后，我们列出了该方法适用的一些有意义的算子示例。