种群生物学中退化扩散算子的 Harnack 不等式与热核估计

本文延续了对定义在带角流形上的一类退化椭圆算子的分析，该类算子出现于种群生物学中（见文献 [2, 3]）。利用由 J. Moser 开创并由 L. Saloff-Coste、Grigoryan 和 Sturm 扩展及完善的技术，我们证明了由这些算子的一个子类所定义的抛物型问题的弱解满足 Harnack 不等式；该子类由那些可由 Dirichlet 型定义且具有非零横向向量场的算子组成。这使得我们可以得出结论：这些方程的解在正时间下属于自然的各向异性 Hölder 空间，并且还能导出这些算子热核的上界，在某些情况下还包括下界。这些结果意味着这些算子在作用于 $C^0$ 或 $L^2$ 时具有紧预解式。证明依赖于我们为一大类加权 Dirichlet 型建立的尺度不变 Poincaré 不等式，以及用于处理某些轻度奇异扰动项的估计。我们所考虑的权重既非 Ahlfors 正则，通常也不属于 Muckenhoupt 类 $A_2$。