具有递减幂律系数的多变量余弦级数的 Hardy 型渐近

三角级数在原点附近的渐近行为研究是数学分析中的一个重要课题。对于单变量三角级数，自 G. H. Hardy 1928 年的工作以来，多位作者已在一系列出版物中对此问题进行了详尽研究。相比之下，多变量三角级数受到的关注较少。本文旨在部分填补这一空白，即寻找具有“一减余弦”形式并乘以递减幂律因子的项所构成的多变量三角级数的渐近：$$\sum_{z\in\mathbb{Z}^{d}\setminus\{0\}}\frac{1}{\|z\|^{d+\alpha}}\left(1-\cos\langle z,\theta\rangle\right), \qquad \theta\in\mathbb{R}^{d},$$ 其中 $\langle\cdot,\cdot\rangle$ 是标准内积，$\|\cdot\|$ 是 $\mathbb{R}^{d}$ 上的最大范数。文中开发的方法相当初等且本质上是代数的。它不依赖于渐近分析的经典工具，如缓变函数、Tauberian 定理或 Abel 变换。然而，在我们的情形下，该方法能够获得渐近的显式表达式，并将 G. H. Hardy 及其他作者已知的 $d=1$ 的经典结果推广到一般情形 $d\ge 1$。