Houghton 群自同态的增长率

Houghton 群 $\mathcal{H}_n$ 由平面上 $n$ 条离散点射线的无穷远平移组成。本文研究 Houghton 群自同态的增长率。我们证明，若自同态 $\phi$ 的核非平凡，则增长率 $\mathrm{GR}(\phi)$ 等于 $1$ 或阿贝尔化上诱导映射的谱半径。结果表明，$\mathcal{H}_n$ 的每个单同态 $\phi$ 确定唯一的自然数 $\ell$，使得 $\phi(\mathcal{H}_n)$ 由具有相同平移长度 $\ell$ 的平移生成。我们利用此证明对一切 $2\leq n$，$\mathcal{H}_n$ 的单同态 $\phi$ 的增长率 $\mathrm{GR}(\phi)$ 恰为 $\ell$。