多项循环群的递增 HNN 扩张与其 profinite 完备化具有相同的上同调

假设 $G$ 是多项循环群，$\phi:G\to G$ 是自同态。令 $G\ast_{\phi}$ 为 $G$ 关于 $\phi$ 的递增 HNN 扩张；即 $G\ast_{\phi}$ 由如下表示给出：G\ast_{\phi}= < G, t \ |\ t^{-1}gt = \phi(g)\ \{for all}\ g\in G >.进一步，令 $\hat{G\ast_{\phi}}$ 为 $G\ast_{\phi}$ 的 profinite 完备化。我们证明，对于任意有限离散 $\hat{G\ast_{\phi}}$-模 $A$，由典范映射 $G\ast_{\phi}\to \hat{G\ast_{\phi}}$ 诱导的映射 $H^{\*}(\hat{G\ast_{\phi}}, A)\to H^{\*}(G\ast_{\phi},A)$ 是同构。