具有互素自同构的有限群的指数

设 $G$ 为一个有限群，其容许一个 $n$ 阶互素自同构 $\phi$。记 $G_{\phi}$ 为 $\phi$ 在 $G$ 中的中心化子，$G_{-\phi}$ 为集合 $\{ x^{-1}x^{\phi}; \ x\in G\}$。我们证明如下结果。1. 若 $G_{\phi}\cup G_{-\phi}$ 中每个元素都包含于一个指数整除 $e$ 的 $\phi$-不变子群中，则 $G$ 的指数是 $(e,n)$-有界的。2. 设 $G_{\phi}$ 为 $c$ 类幂零群。若对每个 $x \in G_{-\phi}$ 有 $x^{e}=1$，且 $G_{-\phi}$ 中任意两个元素都包含于一个导出长度 $d$ 的 $\phi$-可解子群中，则 $[G,\phi]$ 的指数可由 $c,d,e,n$ 界定。