有限群的互素自同构的中心化子

设 $A$ 为阶为 $p^{k}$（其中 $k\geq 3$）的初等交换群，作用在有限 $p'$-群 $G$ 上。证明了以下结果：若对任意 a\in A^{#}，$\gamma_{k-2}(C_{G}(a))$ 是幂零类至多为 $c$ 的幂零群，则 $\gamma_{k-2}(G)$ 是幂零群且其幂零类是 $\{c,k,p\}$-有界的。若对某个满足 $2^{d}+2\leq k$ 的整数 $d$，对任意 a\in A^{#}，$C_{G}(a)$ 的第 $d$ 个导群是幂零类至多为 $c$ 的幂零群，则第 $d$ 个导群 $G^{(d)}$ 是幂零群且其幂零类是 $\{c,k,p\}$-有界的。此前这一结论仅在 $k\leq 4$ 的情形下已知。