李群自同态的拓扑熵

本文确定了李群 $G$ 的连续自同态 $\phi$ 的拓扑熵 $h(\phi)$。该计算是遍历论中的经典课题，看似早已解决。但当 $G$ 非紧时，著名的关于左不变距离 $d$ 的熵 $h_{d}(\phi)$ 的 Bowen 公式仅给出 $h(\phi)$ 的上界，而 $h(\phi)$ 由所谓变分原理刻画。我们证明 $$h\left(\phi\right) = h\left(\phi|_{T(G_\phi)}\right)$$ 其中 $G_\phi$ 是 $G$ 中满足 $\phi(G_\phi) = G_\phi$ 的极大连通子群，$T(G_\phi)$ 是 $G_\phi$ 中心中的极大环面。该结果表明，李群连续自同态的拓扑熵计算可归约为环面连续自同态拓扑熵的经典公式。我们的方法探讨了零拓扑熵与不存在 Li-Yorke 对之间的关系，并强烈依赖于李群的结构理论。