李群上幂映射的拓扑熵

本文讨论计算李群 $G$ 上由某次幂 $\psi(g) = g^k$（$k$ 为正整数）给出的映射 $\psi : G \to G$ 的拓扑熵问题。当 $G$ 为交换群时，$\psi$ 是自同态，其拓扑熵由 $h(\psi) = \dim(T(G)) \log(k)$ 给出，其中 $T(G)$ 是 $G$ 的极大环面，如文献\cite{patrao:endomorfismos}所示。但当 $G$ 非交换时，$\psi$ 不再是自同态，前述结果无法使用。尽管如此，$\psi$ 仍具有一些有趣的对称性，例如它与 $G$ 的共轭作用交换。本文利用李群的结构理论证明 $h(\psi) = \dim(T)\log(k)$，其中 $T$ 是 $G$ 的一个极大环面，从而推广了交换情形的公式。特别地，具有离散中心的紧李群上的幂映射的拓扑熵恒为正，这与此类群上自同态总是具有零熵的情形形成对比。