广义 Houghton 群的 FPn 性质

本论文提出了 Houghton 群 $H_n$ 的二维推广。$H_n$ 定义为自然数集 $\mathbb{N}$ 的不相交并集上的所有置换 $p$ 构成的群，其性质为每个 $\mathbb{N}$ 副本均包含一个余有限子集，使得 $p$ 在该子集上限制为平移。我们的群 $G(n)$ 定义为象限（即 $\mathbb{N}\times\mathbb{N}$ 的副本）的不相交并集上的所有置换 $p$ 构成的群，其性质为每个象限包含一个子象限使得 $p$ 在其上为平移，而 $p$ 在剩余集合上的限制是在射线的余有限不相交并集（每条射线等距同构于 $\mathbb{N}$）上的分段等距映射。基于 K.S. Brown 对 Houghton 群情形的处理，证明了 $G(n)$ 属于 $FP(n-1)$ 型；事实上，$G(n)$ 包含一个正规子群 $N$，使得 $G(n)/N = \mathbb{Z}^{n-1}$，该子群属于 $FP(n-1)$ 型但不属于 $FPn$ 型。