二阶有限 $p$-群的多重全形

$\DeclareMathOperator{\Hol}{Hol}$$\DeclareMathOperator{\Aut}{Aut}$$\newcommand{\Gp}[0]{\mathcal{G}(p)}$$\newcommand{\Size}[1]{\left\lvert #1 \right\rvert}$设 $G$ 为一个群，$S(G)$ 为集合 $G$ 上的置换群。$G$ 的（抽象）全形是自然半直积 $\Aut(G) G$。我们将 $G$ 的右正则表示在 $S(G)$ 中像的正规化子记为 $\Hol(G)$，\begin{equation*} \Hol(G) = N_{S (G)}(\rho(G)) = \Aut(G) \rho(G) \cong \Aut(G) G, \end{equation*} 并亦称其为 $G$ 的全形。更一般地，若 $N$ 是 $S(G)$ 的任意正则子群，则 $N_{S(G)}(N)$ 同构于 $N$ 的全形。G.A.~Miller 已证明群 \begin{equation*} T(G) = N_{S(G)}(\Hol(G))/\Hol(G) \end{equation*} 在同构于 $G$ 且具相同全形（即满足 $N_{S(G)}(N) = \Hol(G)$）的 $S(G)$ 正则子群 $N$ 的集合上正则作用。若 $G$ 非交换，则 $G$ 上的逆运算给出 $T(G)$ 中的一个对合。其他与 $G$ 有相同全形的非交换正则子群 $N$ 给出 $T(G)$ 中（其他的）对合。在文献研究过的情形中，$T(G)$ 往往是一个有限的 $2$-群，且常为初等交换群。本文给出一例有限 $p$-群 $\Gp$（其中 $p > 2$ 为素数，且为类 $2$），它是使 $T(\Gp)$ 非交换且非 $2$-群的最小 $p$-群。此外，当 $p > 3$ 时，$T(\Gp)$ 不由对合生成。更一般地，我们发展了关于 $G$ 为 $p>2$ 的二阶有限 $p$-群时 $T(G)$ 理论的若干方面。特别地，我们证明对此类群 $G$，$T(G)$ 中存在阶为 $p-1$ 的元素，并给出 $\Size{T(G)} = p - 1$ 的例以及 $T(G)$ 含大初等交换 $p$-子群的例。